6 兩種有非圓輪的行星傳動機構(gòu)的不同設(shè)計
6.1概述
單激波推桿減速器的激波器廓形一般使用偏心圓，多激波推桿減速器的激波器廓形是非圓弧曲線。當(dāng)去掉推桿，內(nèi)外滾子合而為一時，推桿減速器就變成了滾柱活齒減速器，如圖6.1所示。因而可以把它們都看作是非圓行星傳動機構(gòu)。這類活齒傳動機構(gòu)的瞬時傳動比是個常數(shù)，如式（2.8）所示，這也是設(shè)計活齒傳動機構(gòu)必須遵循的準(zhǔn)則。從后面的分析可知，這就決定了活齒傳動機構(gòu)各嚙合副的運動性質(zhì)都不可能是純滾動。因而要在推桿兩端加裝內(nèi)外滾子以增加滾動成份而減小滑動成份。對于滾柱活齒減速器來說，因為滾柱同時要與激波器、內(nèi)齒圈相接觸，所以一定有一面有滑動。因而可以說活齒傳動是一種滑滾運動方式的非圓行星傳動。由于運動副是滑滾運動，實際機構(gòu)不能使用輪齒進(jìn)行傳動，而是靠相嚙合的兩個輪的光滑表面接觸。
如果去掉瞬時傳動比為常數(shù)這個前提，根據(jù)運動副都作純滾動的運動方式，可設(shè)計出純滾動的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)（圖6.2）。從后面的分析可知，這種機構(gòu)，相鄰兩行星輪之間的中心角是變化的，相鄰行星輪和太陽輪、內(nèi)齒圈之間所包容的面積也是變化的，利用這一特性，可制造出低速大扭矩液壓馬達(dá)。
心角的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。
6.2節(jié)曲線之間的關(guān)系
設(shè)太陽輪節(jié)曲線方程為T1= T1（θ），行星輪節(jié)曲線是半徑為T2的圓，根據(jù)機構(gòu)作純滾運動或瞬時傳動比為常數(shù)這兩種不同的設(shè)計原則，可設(shè)計出兩種不同的內(nèi)齒圈齒廓曲線。
6.2.1純滾動運動方式的節(jié)曲線關(guān)系
建立如圖6.3所示的坐標(biāo)系，在起始位置，分別與太陽輪、行星輪以及內(nèi)齒圈固聯(lián)的三個動坐標(biāo)系的極軸x1、x2、x3在同一條直線上，且指向相同。圖6.3所示為太陽輪相對行星輪轉(zhuǎn)過了φ1角的情形。設(shè)此時內(nèi)齒圈相對該行星輪轉(zhuǎn)過的角度為φ3，根據(jù)三心定理，作平行平面運動的三個構(gòu)件的三個瞬心必然位于同一條直線上，而純滾動副的接觸點就是它們的瞬心。因而太陽輪與行星輪節(jié)曲線的接觸點M1，行星輪與內(nèi)齒圈節(jié)曲線的接觸點M2以及傳動中心O1這三個點位于同一條直線上。因為是純滾動，圖6.3中弧長
應(yīng)相等（在起始位置S1與S2重合）。由此可得圖6.3中
與θ1的函數(shù)關(guān)系為。
設(shè)μ為太陽輪節(jié)曲線在M1點的切線正向與矢徑O1M1的夾角，由微分幾何知：
將（6.5）式及（6.9）式聯(lián)立，便是內(nèi)齒圈節(jié)曲線的方程。同理，若已知內(nèi)齒圈節(jié)曲線方程，仿上可求得太陽輪節(jié)曲線。
6.2.2按傳動比為定值的設(shè)計
如圖6.4所示，設(shè)太陽輪相對行星輪從初始位置轉(zhuǎn)過φ1角時，內(nèi)齒圈相對該行星輪反向轉(zhuǎn)過的角度為φ3。令φ1與φ3的比值為常數(shù)i13，這時上一節(jié)中弧長相等的特性已無法保證，因而接觸點M1、M2也不再是運動的瞬心，M1、M2及中心O1不一定在同一條直線上。這就是滾柱活齒傳動的結(jié)構(gòu)形式。設(shè)計方法與第二章類同。現(xiàn)簡要敘述如下：
曲線向徑與切線正方向的夾角μ以及工作角a1的計算都與純滾動動方式下相同，即：
由（2.16），行星輪工作角α2及α1之間有關(guān)系式
即
若用l1表示行星輪與太陽輪的中心距O1O2，則由圖6.4可得：
聯(lián)立（6.15）式及（6.18）式，便是內(nèi)齒圈的齒廓方程。內(nèi)齒圈的齒廓曲線是行星輪節(jié)曲線的外包絡(luò)線。
從上述求內(nèi)齒圈齒廓方程的過程可以看出，由于規(guī)定了轉(zhuǎn)角φ1與φ3的比值為常數(shù)i13，使得對于太陽輪的任一轉(zhuǎn)角φ1，φ3相應(yīng)地有確定的值φ3=φ1/i13。同時圖6.4中行星輪工作角α2也隨之由（6.12）式確定下來。因而M1、M2與O1三點肯定不會始終保持在同一條直線上。其理由如下：
假設(shè)圖6.4中O1、M1、M2三點始終都能保持在同一直線上，則對于太陽輪轉(zhuǎn)角φ1，圖6.4中的α2可根據(jù)圖6.3中的行星輪轉(zhuǎn)角θ2求得，由圖中幾何關(guān)系及（6.4)式應(yīng)有
另一方面，由于φ1與φ3的比的比值為常數(shù)i13，α2的值已由（6.12）式確定。比較(6.19)式與（6.12）式可知，只有在α1=0且
時，它們才是一致的，由（6.10）式及（6.11）式知，只有在
時才有，且α1=0，由于太陽輪的節(jié)曲線是周期性，所以在一周內(nèi)只有2n1個點（nl是太陽輪節(jié)曲線的周期數(shù)）有，其余各點
都不為零，對于太陽輪的轉(zhuǎn)角φ1只要不是對應(yīng)于，式（6.19）與式（6.12）是矛盾的，也就是說M2點必然不會與M1、O1位于同一直線上。這說明當(dāng)傳動比為常數(shù)時，行星輪與太陽輪、行星輪與內(nèi)齒圈所組成的兩個嚙合副不可能都作純滾運動，一定有一個嚙合副有滑動，因而活齒傳動都是滑滾運動。
6.3節(jié)曲線的封閉條件及等分
對于作純滾運動的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)，上面求得的節(jié)曲線關(guān)系只是一般的公式，要設(shè)計出實際的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)還要受到許多限制。
6.3.1節(jié)曲線的封閉條件
為了能夠連續(xù)轉(zhuǎn)動，已知的太陽輪節(jié)曲線當(dāng)然應(yīng)是連續(xù)而封閉的,T1(θ1）必須是θ1的周期函數(shù)。設(shè)太陽輪一轉(zhuǎn)中的周期數(shù)是n1，當(dāng)太陽輪相對行星輪從θ1= θ10轉(zhuǎn)過一個周期時，由于
，所以由（6.2）式可知轉(zhuǎn)動前后在接觸點具有相同的μ值。根據(jù)（6.4）式，設(shè)θ1=θ10時，行星輪的轉(zhuǎn)角有關(guān)系式
則當(dāng)太陽輪相對行星輪轉(zhuǎn)過一個周期后，由于μ值相同，行星輪轉(zhuǎn)角關(guān)系式為：
上式中△θ2及
分別為行星輪轉(zhuǎn)角θ2及在太陽輪從θ1=θ10轉(zhuǎn)過一個周期后的增量。由（6.20）式和（6.21）式可知在太陽輪轉(zhuǎn)過的任一周期中，行星輪轉(zhuǎn)角增量△θ2與相等，即：
由此可得到結(jié)論：太陽輪節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長與內(nèi)齒圈節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長相等。若內(nèi)齒圈的周期數(shù)為n2，則n2應(yīng)大于n1。為了減小行星輪尺寸，應(yīng)取最小整數(shù)值n1+1作為內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周期數(shù)，從而可由（6.9）式得到內(nèi)齒圈節(jié)曲線的封閉條件為：
6.3.2節(jié)曲線上輪齒等分的限制
設(shè)齒輪的模數(shù)為m，為了使太陽輪、行星輪及內(nèi)齒圈都有等分的輪齒，它們的節(jié)曲線都必須是周節(jié)mπ的整數(shù)倍。由上節(jié)知道，太陽輪節(jié)曲線與內(nèi)齒圈節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長相等，并且內(nèi)齒圈的周期數(shù)比太陽輪的周期數(shù)大1，所以內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周長是太陽輪節(jié)曲線周長的（n1+1）/n1倍。因此只要太陽輪節(jié)曲線在一個周期內(nèi)的弧長能夠被周節(jié)等分，就能保證內(nèi)齒圈的等分。也就是說，設(shè)z1為太陽輪齒數(shù)，則z1應(yīng)是n1的整數(shù)倍，且太陽輪與內(nèi)齒圈的輪齒等分條件為：
由于每個周期的弧長都是相等的，太陽輪節(jié)曲線的總長等于n1個周期的弧長之和，用n1乘以（6.24）兩邊，可得等分條件的另一種表達(dá)形式：
對于節(jié)曲線為圓的行星輪，輪齒等分條件為：
2T2=mz2 （6.26）
上式中z2為行星輪的齒數(shù)，顯然內(nèi)齒圈齒數(shù)z3為：
6.3.3不干涉條件
設(shè)計的非圓行星齒輪傳動機構(gòu)還應(yīng)保證太陽輪最大向徑處的齒頂與內(nèi)齒圈錄小向徑處的齒頂不發(fā)生相碰。若太陽輪節(jié)曲線在θ1=0時向徑取得極小值，則內(nèi)齒圈節(jié)曲線向徑的極小值為T1（0）+2T2，對于關(guān)于極軸有對稱性的太陽輪節(jié)曲線，在θ1=π/n1時有極大向徑，若齒頂高為ha，則不發(fā)生運動干涉的條件為：
6.4傳動特性分析
6.4.1太陽輪與行星輪的平均傳動比
固定內(nèi)齒圈，當(dāng)太陽輪起點從初始位置開始轉(zhuǎn)動到與行星輪重新在初始位置接觸時，太陽輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)與行星輪公轉(zhuǎn)過的圈數(shù)之比ip12稱作太陽輪與行星輪的均傳動比。圖6.5(a）為初始位置，圖6.5(c）為太陽輪按順時針方向相對行星輪1轉(zhuǎn)過一個周期后的情形。此時內(nèi)齒圈相對該行星輪也應(yīng)轉(zhuǎn)過一個周期，即行星輪1從初始位置公轉(zhuǎn)過的角度為：
而太陽輪相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過的角度φA為：
即太陽輪轉(zhuǎn)兩圈零一個周期，行星輪公轉(zhuǎn)一圈。
6.4.2行星輪的個數(shù)
設(shè)太陽輪起點從初始位置相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過一個周期，從圖6.5(a）轉(zhuǎn)到圖6.5(b）位置。從圖6.5(b）可知，此時在內(nèi)圈的初始位置S3處可放入另一個行星輪，稱它為2號行星輪。類似當(dāng)太陽輪從初始位置相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過第二個周期，在S3可放入第3號行星輪，太陽輪旋轉(zhuǎn)一圈，放入第n1+1號行星輪，太陽輪轉(zhuǎn)兩圈，放入第2nl+l號行星輪，當(dāng)太陽輪轉(zhuǎn)兩圈零一個周期，恰好第1號行星輪回到S3點。所以可安放的行星輪總數(shù)為2n1+1個。
6.4.3相鄰兩行星輪之間的中心角
設(shè)太陽輪起點從初始位置相對內(nèi)齒圈順時針轉(zhuǎn)過了φA角，當(dāng)φA大于太陽輪一個周期
時，第2號行星輪也相對內(nèi)齒圈極軸公轉(zhuǎn)過了一個角度（圖6. 5（C））。令
，則φB表示此時太陽輪與2號行星輪的初始接觸點S11相對內(nèi)齒圈初始位S3轉(zhuǎn)過的角度。用φ3表示1號行星輪相對內(nèi)齒圈初始位S3公轉(zhuǎn)過的角度，由圖6.3可得：
根據(jù)（6.33）式，可由任給的φA確定出太陽輪起點S1至1號行星輪與太陽輪節(jié)曲線的接觸點M1所來的中心角θ1，然后代入（6.30）式，可得l號行星輪中心O2與內(nèi)齒圈初始件S3所夾的中心角φ3(φA)。用φB代替（6.33）式中的φA，將解得的θ1值代入（6.30）式，便可得到第2號行星輪中心與內(nèi)齒圈S3點所夾的中心角φ3(φB)。兩行星輪之間的中心角ψ為：
可見兩行星輪所夾的中心角ψ是太陽輪相對內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)角φA的函數(shù)，它隨著φA值的不同而呈周期性的變化，并圍繞
上下波動。太陽輪與行星輪的瞬時傳動比i12為：
i12也是隨太陽輪轉(zhuǎn)角φA變化的函數(shù)。由于太陽輪和內(nèi)齒圈都是非圓的，而相鄰兩行星輪之間的中心角又是變化的，因而太陽輪、內(nèi)齒圈與相鄰兩行星輪之間包含的面積也是變化的，正是利用這些特性，可制造出低速大扭矩液壓馬達(dá)、空氣壓縮機等機器。
6.5設(shè)計步驟及計算實例
現(xiàn)以太陽輪是一個回轉(zhuǎn)中心在幾何中心的標(biāo)準(zhǔn)橢圓為例，來說明純滾動非圓仃雖傳動非圓行星傳動機構(gòu)的設(shè)計方法步驟。
給定齒輪模數(shù)m=2.5,n1=2，內(nèi)齒圈周期數(shù)為3 ，設(shè)計步驟如下：
6.5.1確定齒數(shù)
太陽輪的齒數(shù)z1可根據(jù)所要求的太陽輪的大小來確定，它應(yīng)是n1的整數(shù)倍。本例選z1=42，由（6.27）式，內(nèi)齒圈齒數(shù)應(yīng)為z3=63。為了確定z2的合適數(shù)值，可以采用這樣的方法，假想太陽輪和內(nèi)齒圈都退化成齒數(shù)為z1及z3的圓齒輪，則此時的行星輪半徑
應(yīng)為：
時常不是整數(shù)，我們稱它為行星輪的參考齒數(shù)。實際采用的太陽輪雖然和退化的圓齒輪具有相同的模數(shù)m和齒數(shù)z1，但是它的形狀不是圓的，這就使得實際采用的行星輪齒數(shù)z2應(yīng)比參考齒數(shù)小，太陽輪節(jié)曲線與圓相差越大，z2應(yīng)比小的越多。為了減小輪齒干涉的可能生，z2要盡量接近。本例選z2=10，從而得T2=12.5mm。
6.5.2確定太陽輪節(jié)曲線
所要求的橢圓型太陽輪節(jié)曲線方程可表示為：
上式中，a為橢圓的長軸半徑，b為橢圓的短軸半徑。由（6.25）式得輪齒等分條件為：
上式中的
可由（6.36）式求得
由（6.23）可得節(jié)曲線封閉條件為：
上式中μ按（6.2）式計算，而
由（6.2）求得為：
其中：
利用辛普生法計算數(shù)值積分，由（6.37）和（6.38）兩條件式組成的方程組可解算出參數(shù)a和b來，結(jié)果是：
a=59.7616 mm b=44.6943 mm
取ha=2.5，將T1（0）=44.6943，T1（π/2））=59.7616，T2=12.5代入（6.28）式，可知不會發(fā)運動干涉。
6.5.3求人齒圈節(jié)曲線
根據(jù)（6.5）式和（6.9）式，可得內(nèi)齒圈節(jié)曲線方程為：
節(jié)曲線形狀如圖6.6所示。圖6.2為該輪系加上輪齒后的情形。按（6.34）式可算得相鄰兩行星輪之間的夾角隨φA的變化規(guī)律，其關(guān)系曲線如圖6.7所示。由曲線圖可看出，當(dāng)φA=239.2°時，夾角ψ有最小值ψmin=70522°，夾角ψ的變化范圍是2.732°。
6.5.4機構(gòu)優(yōu)化
從以上設(shè)計過程可以看出，根據(jù)非圓太陽輪設(shè)計行星輪為圓的純滾動非圓行經(jīng)齒輪傳動機構(gòu)時，并不是對任意指定的太陽輪節(jié)曲線都有解。當(dāng)太陽輪節(jié)曲線的周期數(shù)n1給定后，節(jié)曲線必須有兩個可調(diào)整的參數(shù)（例中的a和b）的要由節(jié)曲線的封閉條件及輪齒等分條件來確定。齒輪模數(shù)m和太陽輪齒數(shù)z1是被預(yù)先指定了的。當(dāng)各參數(shù)求出后，要用不干涉條件（6.28）式進(jìn)行校驗，若發(fā)生干涉，應(yīng)調(diào)整z1數(shù)值，重新計算太陽輪的可調(diào)整參數(shù)。
顯然，當(dāng)太陽輪與圓的差別越大時，越容易發(fā)生運動干涉。液壓馬達(dá)、空氣壓繃機等機器正是利用了相鄰兩行星輪之間的中心角變化的特點，當(dāng)太陽輪與圓的差別越大時，相鄰兩行星輪之間夾角的變化范圍也越大，這是液壓馬達(dá)等機構(gòu)所要求的。
令：
λ反應(yīng)了非圓行星傳動機構(gòu)與圓行星傳動機構(gòu)的差別程度，當(dāng)λ=0時，非圓行星傳動機構(gòu)就變成了圓行星傳動機構(gòu)。λ越小，越不容易發(fā)生運動干涉，λ越大，相鄰兩行星輪之間中心角變化的范圍也越大。表（6.1）給出了在齒輪模數(shù)m相同的情況下，橢圓形太陽輪取不同的齒數(shù)z1時，按上述設(shè)計步驟得到的結(jié)果。因為：
表6.1 橢圓太陽輪取不同齒數(shù)時的計算結(jié)果
所以當(dāng)z1不能被2n1整除時，就不是整數(shù)。由（6.41）式和（6.40）式可得：
將上式代入不干涉條件式（6.28）后，可得
為了得到機構(gòu)不發(fā)生運動干涉時的最大λ值，將（6.42）式中的小于號換成等號，并將λ代入，對于橢圓形太陽輪，得到下面等式：
mz2=a-b+2ha (6.43)
從（6.37）、（6.38）、（6.43）三式所組成的方程組中，解出a、b及z2，將齒數(shù)代入( 6.40)便得到臨近發(fā)生運動干涉時的λ值。因為z2是整數(shù)，當(dāng)m給定后，由上面三個式子所組成的方程組一般是無解的。若把m也作為一個參變數(shù)，這時方程有解。
在進(jìn)行具體機構(gòu)的設(shè)計時，齒輪模數(shù)m都是指定的。根據(jù)所要求設(shè)計的機構(gòu)體積的大小可事先指定一個太陽輪齒數(shù)z1的取值范圍，若以相鄰兩行星輪之間中心角變化的范圍最大為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)，按上述設(shè)計方法，并加上不干涉條件的限制．則可在所規(guī)定的z1取值范圍內(nèi)得到最佳結(jié)果。
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