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4.3 解題方略

4.3.1 結(jié)構(gòu)有限元分析所用單元的類(lèi)型選擇

為了計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)照以驗(yàn)證計(jì)算模型的正確與否，所選擇的單元其計(jì)算應(yīng)力應(yīng)能以總體坐標(biāo)的形式來(lái)表示。疊片在軸向變形時(shí)，其位移量通常在1---2mm（角向位移時(shí)，許多節(jié)點(diǎn)的情況亦如此）這大大超過(guò)疊片的厚度（0.2—0.5mm )，因而其有限元應(yīng)力分析應(yīng)為幾何非線(xiàn)性分析�；诏B片的幾何特性，我們選用三角形板單元來(lái)模擬它的大部分區(qū)域，而在螺栓孔附近、疊片被墊片由預(yù)緊力壓住，形成接觸面的區(qū)域我們采用三維體元來(lái)模擬，這是因?yàn)樵谶@種情況下，亦即存在著三維接觸元的情況下，APOLANS程序指定必須使用三維體元，雖然在實(shí)際的幾何尺寸中，單一三維體單元上厚度與長(zhǎng)、寬尺寸差別較大，但在實(shí)際計(jì)算中，程序能夠接受這種尺寸比例的體元，因此我們可以認(rèn)為這種形式是適宜的。當(dāng)然，最重要的還是體元和板元的交界部分如何對(duì)接。

如上圖網(wǎng)格狀陰影部分為接觸區(qū)，即用體元來(lái)表示的區(qū)域，疊片的其余部分均用板元來(lái)表示，對(duì)于上圖所指外圈處，亦即三維體元與板元的交界處，我們采用了如下圖所示對(duì)接觸方法。

如圖所示，我們以12節(jié)點(diǎn)體元來(lái)模擬螺孔中心帶磨擦部分的疊片實(shí)體，右邊為三角形板元，其中第9、第10兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為三維體元和三角形板元共享的節(jié)點(diǎn)，這樣就可以將兩個(gè)部分結(jié)合在一起了。

當(dāng)然，在三維體元和三解形板元的邊界對(duì)接上是有很多種方法的，為了確保我們這種對(duì)接方式是最為有效、可靠的，我們做了大量的計(jì)算工作，嘗試了諸多對(duì)接計(jì)算模型的驗(yàn)算，最后得出結(jié)論，只有上圖所表示的接法才能夠保證在載荷相同的情況下（即原載荷加在板元上，現(xiàn)在加在體元上），板元內(nèi)部各點(diǎn)上所受力、力矩的方向和數(shù)量級(jí)才能保持一致，其余的各種方法，要么是力的數(shù)量級(jí)別產(chǎn)生較大差異，要么是力、力矩的方向發(fā)生變化，由此使我們最后認(rèn)定以圖4.3.2所示的對(duì)接方法是可反映實(shí)際情況的，后面將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相印證也證明了這種方法的可行性。

4.3.2 靜力平衡方程的解法

對(duì)于靜力問(wèn)題最后建立的控制方程為代數(shù)方程組，對(duì)線(xiàn)性問(wèn)題為線(xiàn)性代數(shù)方程組，對(duì)非線(xiàn)性問(wèn)題為非線(xiàn)性代數(shù)方程組。

4.3.2.1 線(xiàn)性代數(shù)方程組的解法

一個(gè)線(xiàn)性方程組可寫(xiě)成

[K][X]=[R] (4.3.1)

其中[K]為剛度陣，[X]為位移向量，[R]為載荷向量。

大多數(shù)情況下[K]陣是對(duì)稱(chēng)、正定的，所以有三角化分解：

[K]=[T]^T[T] (4.3.2)

[T]為上三角陣，再進(jìn)一步分解可得

[K]=[T]^T[D][T] (4.3.3)

此時(shí)[T]為單位對(duì)角元的上三角陣，[D]為對(duì)角矩陣，由此得；

[T]^T[D][T][X]=[R] (4.3.4)

即[T]^T[D][Z]=[R] (4.3.5)

[Z]=[T][X] (4.3.6)

式（4.3.5）為前代，(4.3.6）為回代，由此而計(jì)算出位移向量X ，有限元法形成的K矩陣是對(duì)稱(chēng)、正定、稀疏的，非零元主要分布在矩陣對(duì)角線(xiàn)兩側(cè)，一維變帶寬存貯方法利用這一點(diǎn)，各列順序存貯，但僅存貯第一個(gè)非零元以下的元素，由于對(duì)稱(chēng)僅存上三角矩陣，當(dāng)實(shí)際工程模型較大時(shí)，內(nèi)存放不下總剛度陣[K] , 則矩陣將被分塊存貯于磁盤(pán)上，即程序規(guī)定給用戶(hù)一部分內(nèi)存空間A 作為工作數(shù)組用，不同計(jì)算階段分配不同存貯內(nèi)容，在組集總剛度陣時(shí)，存各元素信息及分塊的總剛度陣，內(nèi)、外存交互求解時(shí)放兩個(gè)總剛度陣的塊。總剛度陣即按A/2，數(shù)組尺寸自動(dòng)分成若干塊，存入磁盤(pán)文件。分解時(shí)按序調(diào)各塊進(jìn)入內(nèi)存。

4.3.2.2 非線(xiàn)性代數(shù)方程組的解法

在疊片的帶摩擦元的強(qiáng)度計(jì)算中，我們采用了帶線(xiàn)性搜索的完全牛頓迭代方法。

一、牛頓拉斐遜法

結(jié)構(gòu)的總位能為：

Π= U(q)-{q}^T{F} (4.3.7)

其中，U(q)為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，{q}^T{F}為外載所做的功。

由虛功原理使上式總位能變分為零可得有限元平衡方程：

Π=[W（q）][P(q)][F]=[K(q)][q]-[F] （4.3.8）

其中，[P(q)]是與應(yīng)力等效的節(jié)點(diǎn)力，[F]為外載。

我們有第i 次迭代得到的［K_i（q_i）］可求到第i+1 次的未知變量｛q_i+1｝。

｛q_i+1｝={q_i′}-ω_i[K_i]^-1([K_i]{q_i}-{F})

為超松馳因子，用以加速收斂，即當(dāng)我們有一個(gè)近似解{q_i}時(shí)，可用截?cái)嗟碾A泰勒級(jí)數(shù)得到一個(gè)改進(jìn)的解：

上式左邊稱(chēng)為雅可比矩陣，右邊第一項(xiàng)為載荷位移空間的切線(xiàn)剛度，它是對(duì)稱(chēng)的，所以有：

[Δq_i]=-[K_i]^-1_T（[P（q_i）]-[F]） ( 4.3.12)

其中（）內(nèi)為第i 次迭代不平衡力。

二、線(xiàn)性搜索加速

在求解方程（4.3.8)時(shí)，，尋求一個(gè)n 階矢量{q } ，實(shí)際上是在n 維空間找到一個(gè)方向和步長(zhǎng)來(lái)滿(mǎn)足該方程。對(duì)于非線(xiàn)性方程組，要經(jīng)過(guò)多次迭代，每次迭代均要找到一個(gè)方向和步長(zhǎng)，逐步達(dá)到平衡解，為了加速迭代的收斂，在由式（4.3.12）決定的力向上尋求一個(gè)優(yōu)化的步長(zhǎng)，即將｛△q｝乘以某一標(biāo)量η而使迭代加快。決定η 的原則是使能量增量φ最小化，即：