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單元?jiǎng)偠汝囍衐V=∣J∣dξdηdζ，所以在局部坐標(biāo)系ξηζ內(nèi)積分式（3.1.6），可采用三維高斯求積公式：

3.2  幾何非線性有限元法

當(dāng)薄板、殼等物體受到載荷，位移與應(yīng)變關(guān)系不可用線性來描述，而且應(yīng)變超過10％以上時(shí)，必須采用大應(yīng)變理論。因此考慮位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系或采用大應(yīng)變理論均為幾何非線性問題。

3.2.1  物體變形和運(yùn)動的描述

從變形的角度來說，物體的變形過程實(shí)際上是從一種圖形變換到另一種圖形的過程，由于物體是由質(zhì)點(diǎn)所組成的，物體的形狀可以用質(zhì)點(diǎn)間的相互位置來表示。

質(zhì)點(diǎn)p在時(shí)間t=0時(shí)刻的位置坐標(biāo)為x_i（i=1，2，3），在t=t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)移到另一位置上，由于質(zhì)點(diǎn)間的相互位置關(guān)系發(fā)生了變化，物體因而改變了形狀，這時(shí)p點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

x_i（i=1，2，3）它是xi與時(shí)間的函數(shù)

X_i=X_i(x_i,t)    （i=1，2，3）            (3.2.1)

對于變形體及其上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)，可以隨不同坐標(biāo)選取法有多種描述方法：

(1)參照描述（拉格朗日法）獨(dú)立變量為任意選擇的參照構(gòu)形中質(zhì)點(diǎn)P的當(dāng)前坐標(biāo)與時(shí)間t，其中參照構(gòu)形的選擇是任意的，而且不影響計(jì)算結(jié)果。

(2)空間描述（歐拉描述）：獨(dú)立變量是質(zhì)點(diǎn)P當(dāng)前位置n+1_x與時(shí)間隔n+1_t,其研究方式不是跟隨著運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)研究其運(yùn)動狀態(tài)，而是研究不同的質(zhì)點(diǎn)。

(3)物質(zhì)描述：獨(dú)立變量為x_i與（i=1，2，3）即給出任意時(shí)刻物體中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置，這種方法很少用于有限元法中。

經(jīng)過空間某一點(diǎn)時(shí)的狀態(tài)。

(4)更新的拉格朗日法：在物體運(yùn)動的整個(gè)過程中，如果從零時(shí)刻到t時(shí)刻的所有力學(xué)量是已知的，度量t+△t時(shí)刻各個(gè)力學(xué)量的參考坐標(biāo)是以t時(shí)刻的坐標(biāo)來描述，也就是說在某一時(shí)刻物體的力學(xué)量，都以它的前一個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo)系來描述的。

由于拉格朗日描述在大應(yīng)變時(shí)非彈性本構(gòu)關(guān)系不易引入，其適應(yīng)于大位移，中等轉(zhuǎn)動和小應(yīng)變情況以及線性、以及非線性屈曲，因此本文僅討論全拉格朗日法(T.L法)的情形。

3.2.2  完全拉格朗日（T.L）公式

以t=0時(shí)刻為基準(zhǔn)描述物體在t+△t時(shí)刻的平衡，在平衡方程中采用格林—拉格朗日應(yīng)變分量 以及克�；舴驈埩縯+Δt_Sij,

上式是將t+△t時(shí)刻的應(yīng)力、應(yīng)變、位移看成t時(shí)刻已知的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和未知增量應(yīng)力{0^S}，應(yīng)變{0^ε}，位移{0^u}之和，進(jìn)一步，增量應(yīng)變{0^ε}可用線性部分即{o^ε}={o^e}+{o^η}

0^eij中只含有未知增量位移的一次方項(xiàng)，而0^ηij中含有未知增量位移二次方項(xiàng)，所以非線性主要體現(xiàn)在0^ηij中

由于0^tu及0^tε已知，利用式（3.2.5）(3.2.6)可行

式（3.2.2）可寫為：

上式為T.L描述的增量形式的虛功方程，左邊第一項(xiàng)為增量應(yīng)力在增量虛應(yīng)變上做的虛功，左邊第二項(xiàng)為t時(shí)刻的總應(yīng)力在非線性部分虛應(yīng)變上的虛功。右邊第二項(xiàng)為t刻的總應(yīng)力在線性部份慮應(yīng)變上的虛功。 右邊第一項(xiàng)t+△t₀W為外力做的虛功。

式（3.4.16）是包含了未知量的高次項(xiàng)，是一個(gè)非線性方程。由于采用了增量加載，對每一個(gè)增量加載段，當(dāng)作線性問題處理，即采用分級線性化來求解。為此可近似取應(yīng)變的線性部分來代替全部應(yīng)變，即：

只要加載步長分得很小，這種代替引起的誤差將不會很大，同時(shí)這種誤差還可以在求解過程中由平衡迭代來修正。

將式（3.4.17）代入式（3.4.16）求得非線性虛功方程

上式在有限元中將物體離散為有限個(gè)單元的集合體時(shí)可為：

{}e表示此量是屬于單元的。

式（3.4.14）(3.4.19)為增量形式的完全拉格朗日（T.L）方程。

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