2 平行軸少齒差行星傳動(dòng)原理及齒形優(yōu)化
2.1 引言
行星齒輪傳動(dòng)最基本的形式是2K-H型，如圖2-1所示，其傳動(dòng)比為：
由公式（2-1）可知，在徑向尺寸受到一定的限制時(shí)，要獲得較大的傳動(dòng)比，必須減少中心輪Za的齒數(shù)。但Za受到最小根切齒數(shù)的限制，不能太小。因此，為了獨(dú)得較大的傳動(dòng)比，人們把行星輪加大，甚至完全去掉中心輪，于是演變出行星齒輪傳動(dòng)的另一種形式：K-H-V行星齒輪傳動(dòng)，其結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)2-2所示。它的基本構(gòu)件中心輪b、轉(zhuǎn)臂H和構(gòu)件V，當(dāng)中心輪固定，轉(zhuǎn)臂為主動(dòng)，構(gòu)件V從動(dòng)時(shí)，傳動(dòng)比為：
中心輪齒數(shù)與行星輪齒數(shù)之差越小，傳動(dòng)比就越大，把這種傳動(dòng)形式的行星傳動(dòng)稱(chēng)為少齒差行星齒輪傳動(dòng)，常簡(jiǎn)稱(chēng)少齒差傳動(dòng)。由于行星輪既作公轉(zhuǎn)又自轉(zhuǎn)，因此，要實(shí)現(xiàn)定軸輸出，還必須一個(gè)等角速比機(jī)構(gòu)的輸出機(jī)構(gòu)，稱(chēng)之為“W機(jī)構(gòu)”。
圖2-1 2K-H型行星齒輪傳動(dòng)
圖2-2 K-H-V行星齒輪傳動(dòng)
這兩種結(jié)構(gòu)并沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，只是選擇不同的機(jī)構(gòu)作輸出構(gòu)件和機(jī)架，由此可見(jiàn)，少齒差行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的實(shí)質(zhì)是由周轉(zhuǎn)輪系與輸出機(jī)構(gòu)或輸入機(jī)構(gòu)組合而成的齒輪連桿機(jī)構(gòu)，由于行星輪作平面運(yùn)動(dòng)，所以一般使由平面四連桿機(jī)構(gòu)構(gòu)成輸出或輸入機(jī)構(gòu)。把輸出軸作為機(jī)架，行星輪作為連桿形成一四桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)輸出，則所求的四桿機(jī)構(gòu)必須滿足以下要求：
1）由于輸出的軸作圓周運(yùn)動(dòng)，故四桿機(jī)構(gòu)存在曲柄；
2）連桿即行星輪，在機(jī)構(gòu)導(dǎo)引下作圓周平動(dòng)。
2.2 平行軸擺線針輪行星傳動(dòng)原理與機(jī)構(gòu)形式
2.2.1 平行軸擺線針輪減速器的結(jié)構(gòu)
圖2.3 平行軸擺線針輪減速器的結(jié)構(gòu)圖
1—箱體，2、4、11、14、22—軸承，3、15—高速軸，5、18—環(huán)板，6、10、13、17、21、25—端蓋，7—針齒，8—滾動(dòng)套，9—低速軸，7、10、20—擺線輪，16—螺針，19、24—小齒輪，23—過(guò)橋齒輪。
圖2.3是本實(shí)用新型的實(shí)施結(jié)構(gòu)圖之一。下面結(jié)合附圖予以說(shuō)明：箱體由箱蓋和箱座構(gòu)成，兩根高速軸3、15和一根低速軸9的兩端由軸承4、14和11支撐在箱座的軸承孔內(nèi)，軸承外側(cè)裝有端蓋和密封圈；同一根高速軸上有兩個(gè)相位差成180°的偏心軸頸，偏心軸頸相當(dāng)于曲柄機(jī)構(gòu)，其中環(huán)板起連桿的作用；環(huán)板內(nèi)孔的圓周上均布著針齒銷(xiāo)7，針齒銷(xiāo)外有滾動(dòng)套8；當(dāng)兩塊環(huán)板5、18上針齒銷(xiāo)與固聯(lián)在低速軸上且相應(yīng)相位差成180°的兩個(gè)擺線齒輪12、20嚙合時(shí)，體內(nèi)的兩根高速軸固聯(lián)相同的小齒輪119、24，在低速軸上空套一個(gè)過(guò)橋的大齒輪23，兩對(duì)外嚙合驅(qū)動(dòng)雙曲柄順利通過(guò)死點(diǎn)。
2.2.2 傳動(dòng)的原理
平行軸擺線針輪的基本原理是K-H少齒差行星齒輪傳動(dòng)原理，見(jiàn)圖2.4，它應(yīng)用2.1中結(jié)構(gòu)形式，將平行雙曲柄四桿機(jī)構(gòu)的曲柄，α是連桿內(nèi)齒輪，b是定軸輸出外齒輪。其傳動(dòng)比為：
2.2.3 傳動(dòng)裝置的結(jié)構(gòu)形式
在這個(gè)產(chǎn)行四邊形機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)兩曲柄與連桿共線時(shí)，在原曲柄轉(zhuǎn)向不變的條件下，從動(dòng)曲柄會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向不確定的現(xiàn)象，曲柄這時(shí)所處的位置稱(chēng)為死點(diǎn)位置。
本研究在一個(gè)傳動(dòng)裝置中采用兩個(gè)成一定相位差的平行雙曲柄四桿機(jī)構(gòu)，它們的連桿內(nèi)齒輪與兩個(gè)擺線輪相嚙合的情況。為了實(shí)現(xiàn)靜力平衡，兩個(gè)平行雙曲柄四桿機(jī)構(gòu)的相位差設(shè)計(jì)為π，結(jié)構(gòu)型式見(jiàn)圖2.5。
圖2.5 相位差π的平行雙曲柄四桿機(jī)構(gòu)
采用圖2.5的結(jié)構(gòu)盡管實(shí)現(xiàn)了靜平衡，但仍存在轉(zhuǎn)針?lè)较虿淮_定的問(wèn)題。本文為解決此問(wèn)題，提出了三種解決方案。
（1）加連桿
見(jiàn)圖2.6。當(dāng)二塊環(huán)板處于死點(diǎn)位置時(shí)，連桿不在死點(diǎn)位置，即連桿與曲柄有一定的相位角，連桿帶動(dòng)板越過(guò)死點(diǎn)位置。
（2）加惰輪機(jī)構(gòu)
見(jiàn)圖2.7。輪1和輪3通過(guò)鍵與軸相連，齒輪2空套在軸上。Z1=Z3＜Z2，因此ω1=ω3，齒輪不致產(chǎn)生干涉。
圖2.6 加連桿
圖2.7 加惰輪
（3）加皮帶輪
見(jiàn)圖2.8。
圖2.8 加皮帶輪
2.3 擺線針輪傳動(dòng)的嚙合原理及齒形方程
2.3.1 擺線輪的標(biāo)準(zhǔn)齒形方程
建立如圖2.9的標(biāo)架系：
xoy—絕對(duì)坐標(biāo)系。
xclcyc—固定在擺線輪上的坐標(biāo)系。
xpopyp—固定針輪上的坐標(biāo)系。
圖2.9 標(biāo)架關(guān)系
圖2.10 嚙合關(guān)系
建立圖2.10的嚙合關(guān)系，當(dāng)針輪轉(zhuǎn)過(guò)φ角，擺線輪轉(zhuǎn)過(guò)φ1角，此時(shí)嚙合點(diǎn)是M點(diǎn)。根據(jù)嚙合原理[24]，可推導(dǎo)出齒面方程。
令OMP=l，M坐標(biāo)為M（x，y），
在△ОMPОP中，根據(jù)正弦定理有：
根據(jù)余弦定理有：
根據(jù)坐標(biāo)間的關(guān)系有：
其中:
即有：
把（2-3）、（2-4）、（2-5）代入式（2-7）中得：
α——偏心距，α=r′P- r′c
φ——轉(zhuǎn)臂相對(duì)某一針齒中心矢徑的轉(zhuǎn)角
rrp——針齒套外圓半徑（mm）
2.3.2 擺線輪的通用齒形方程式
實(shí)際應(yīng)用擺線針輪傳動(dòng)時(shí)，為補(bǔ)償制造誤差，便于裝拆和保證潤(rùn)滑，擺線輪齒與針齒之是必須有嚙合側(cè)隙。因此，實(shí)際的擺線輪不能采用標(biāo)準(zhǔn)齒形，都必須修形。
根據(jù)擺線針輪傳動(dòng)的嚙合與展成法切削加工原理，擺線輪的齒形以下三種基本修形方法，即移距修形法、等距修形法及轉(zhuǎn)角修形法。
由（2-8）可知，擺線輪的實(shí)際齒形決定于rp，α，rrp，Zp，△rp，△rrp，δ這七個(gè)獨(dú)立參數(shù)。
2.4 兩齒差擺線輪的齒頂修形
傳動(dòng)比i≤17，特別i≤11的擺線針輪傳動(dòng)采用傳統(tǒng)的“一齒差”齒形時(shí)，理論上同時(shí)嚙合齒數(shù)本來(lái)就不多，為了形成必要的嚙合間隙以補(bǔ)償制造安裝誤差和滿足潤(rùn)滑要求，擺線輪經(jīng)過(guò)等距或移距修形后，則同時(shí)嚙合傳力的齒數(shù)就會(huì)更少，從而使承載能力降低，并容易產(chǎn)生膠合。為了克服“一齒差”在小傳動(dòng)比時(shí)的弱點(diǎn)，本研究采用兩齒差擺線針輪傳動(dòng)，如圖2.11所示。由于齒頂尖點(diǎn)使齒廓頂部強(qiáng)度不足，還會(huì)在傳動(dòng)中引起噪聲，因此需要對(duì)齒頂修形[23，27]。
圖2.11 兩齒差擺線針輪
2.4.1 未修頂前齒頂圓的計(jì)算
在上圖中，兩條短幅外擺線等距曲線的交點(diǎn)構(gòu)成了二齒差擺線輪的齒頂。
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（xa，ya），則：
由通用擺線輪齒形方程式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)。
已知rp，rrp，a，Zp=Zp′/2，△rp，△rrp，δ，由式（2-9）算得λ值，再求出φA，xA，yA。那么未修形前齒頂圓的半徑rac即可由下式求得：
2.4.2 修頂曲線參數(shù)的選擇
為了便于在展成法擺線磨齒機(jī)上完成修形，本文采用一條短幅外擺線的等距曲線來(lái)修形齒頂。
1）目標(biāo)函數(shù)
為使修頂曲線與工作齒廓相連處較光滑地過(guò)度，把優(yōu)選修頂曲線與工作齒廓曲線交點(diǎn)處兩切矢的夾角的極小值作為目標(biāo)函數(shù)。
2）結(jié)束條件
（1）修頂曲線不得產(chǎn)生頂切，其約束條件為：
g1（x）=rrp2-|ρ0|min＜0
式中，|ρ0|min為修頂短幅外擺線等距曲線理論齒廓的最小曲率半徑。
（2）修頂曲線的起始點(diǎn)K應(yīng)保證有足夠的同時(shí)嚙合傳力的齒數(shù)，通常設(shè)計(jì)時(shí)有4～5個(gè)齒輪同時(shí)嚙合，設(shè)對(duì)應(yīng)于嚙合點(diǎn)最遠(yuǎn)的針齒相對(duì)于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角（嚙合相位角）為φG，而擺線輪工作齒廓與修頂曲線交點(diǎn)K處的嚙合角為φK，可寫(xiě)為如下的結(jié)束條件：
g2（x）=φG-φK＜0
（3）在修頂起始起點(diǎn)K以前，兩齒差傳動(dòng)擺線輪的工作齒廓MK不得與修頂曲線相交，以保證工作齒廓MK的正確齒形，此點(diǎn)可寫(xiě)成約束條件：
g3（x）=x(y)-x2(y)＜0
式中x(y)，x2(y)：分別為對(duì)應(yīng)相同y坐標(biāo)的工作齒廓的X坐標(biāo)和修頂曲線的X坐標(biāo)。
此外，為在展成法磨齒機(jī)上一次修完所有齒頂，修頂短幅外擺線的等距曲線參數(shù)擺線齒數(shù)ZC2通常選為兩齒差擺線輪實(shí)際齒數(shù)ZC′的2倍或3倍。修頂曲線的偏心距a2應(yīng)符合擺線磨齒機(jī)的偏心距系列，通常為0.75，1.0，1.25，1.5等。為使磨齒砂輪有合理壽命，修頂曲線參數(shù)中的針齒半徑rrp2不應(yīng)過(guò)小，3～5mm＜rrp2＜rrp/2。
根據(jù)上述的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，用牛頓迭代法進(jìn)行優(yōu)化，其程序框圖見(jiàn)2.12。
舉例：
已知參數(shù)如下：
| rp（mm） |
a（mm） |
rrp（mm） |
Zp |
ZP' |
△rp（mm） |
△rrp（mm） |
δ |
| 109 |
4 |
8.5 |
18 |
36 |
0.60544 |
-0.4554 |
0 |
優(yōu)化后的修頂曲線的參數(shù)為：
| rp2（mm） |
a2（mm） |
rrp2（mm） |
Zp2 |
rac2（mm） |
| 103.13 |
0.75 |
3 |
102 |
105.88 |
圖2.12 二齒差擺線輪齒形修形的優(yōu)化框圖
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