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  基于灰色系統(tǒng)理論的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計

5.1引言

隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，機(jī)械產(chǎn)品與設(shè)備逐漸向高速、高效、精密、輕量化和自動化方向發(fā)展，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的日趨復(fù)雜，對其工作性能的要求越來越高。在現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計中，為設(shè)計出高性能的機(jī)械產(chǎn)品，需對機(jī)械的結(jié)構(gòu)、可靠性及動態(tài)特性等多方面性能進(jìn)行綜合評價。而傳統(tǒng)的單一靜態(tài)設(shè)計己經(jīng)不能滿足生產(chǎn)對機(jī)械產(chǎn)品動態(tài)性能的要求。因此，為使機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)同時具有良好的靜、動態(tài)特性，必須對其進(jìn)行多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計。
對于復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品動態(tài)優(yōu)化設(shè)計，人們力求采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，即由計算機(jī)自動完成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的優(yōu)化過程，以便在設(shè)計階段即可獲得具有良好動態(tài)特性的設(shè)計方案。而其中關(guān)鍵性的問題是如何建立動態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)。因為從數(shù)學(xué)原理上看，機(jī)械結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的設(shè)計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間是一種高度非線性的映射關(guān)系，無法用一個簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示，因此其目標(biāo)函數(shù)很難建立。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門近代發(fā)展的新興學(xué)科,它具有極強的非線性映射功能，是一種描述和處理非線性關(guān)系的有力數(shù)學(xué)工具。因此，可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立動態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)，實現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間的映射，解決動態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)難以建立的難題，這樣就能夠利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法自動地實現(xiàn)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計。
在多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計中，同時使幾個分目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值，一般來說是比較困難的。目標(biāo)函數(shù)之間關(guān)系復(fù)雜，甚至相互矛盾，往往由于一個分目標(biāo)的極小化而引起另一個或幾個分目標(biāo)的最優(yōu)值變壞。也就是說，各分目標(biāo)在求極小化過程中是相互矛盾的，所以人們只能求得一些滿意解，絕對最優(yōu)解一般是不存在的。而這些滿意解中的任意兩個解不一定能比較其優(yōu)劣，因此多目標(biāo)的解是半有序的�；疑�聚類分析方法提供了尋求多目標(biāo)優(yōu)化問題的最滿意解的一個有效途徑，該方法比其他求解最滿意解的方法更具有理論依據(jù)和合理性，且方法實用性強，滿意程度可由欲望水平確定，能排列出滿意解的優(yōu)劣次序，為決策提供了更趨于實際的方法和依據(jù)。
根據(jù)以上思想，本文利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練動態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用灰色聚類分析方法對圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)進(jìn)行了多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計。利用該方法獲得了具有良好靜、動態(tài)特性的設(shè)計方案，較傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法，得到進(jìn)一步的優(yōu)化。

5.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

5.2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概述
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一單向傳播的多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)除輸入輸出節(jié)點外，還有一層或多層的隱含層節(jié)點，輸入信號從輸入層節(jié)點依次傳過隱含層節(jié)點，然后通過輸出層節(jié)點輸出。同層節(jié)點間沒有任何耦合，故每層節(jié)點的輸出只影響下一層節(jié)點的輸出。每個節(jié)點表示單個神經(jīng)元，隱含層蘿點對應(yīng)的傳遞函數(shù)常為sigmofd型函數(shù)，輸出層節(jié)點對應(yīng)的傳遞函數(shù)有時為線性。1987年RobertHecht-Nielson證明了對于任何在閉區(qū)間內(nèi)的一個連續(xù)函數(shù)都可以用具有一個隱含層的BP網(wǎng)絡(luò)來逼近，因而一個三層的BP網(wǎng)絡(luò)可以完成任意的n維到m維的映射。常見的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5-1所示，其最下層稱為輸入層，中間層稱為隱含層，最上層稱為輸出層。

三層前饋型BP網(wǎng)絡(luò)采用BP算法來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值和節(jié)點閾值。BP算法，即誤差逆?zhèn)鞑�學(xué)習(xí)方法，是一種曲型的誤差修正方法。BP算法是一個種有教師的學(xué)習(xí)算法，整個網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程由信息的正向傳動播和誤差的反向傳播兩上階段構(gòu)成，在正向傳播的過程中，輸入信息從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，并傳向輸出層，如果不能在輸出層得到期望的輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，運用梯度下降法連接權(quán)關(guān)于誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沿原來的連接通路返回，通過修改各層的權(quán)值使得誤差函數(shù)減小，直到達(dá)到收斂為止。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)練過程如圖5-2所示。

5.2.2應(yīng)用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱是以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論為基礎(chǔ)，用Matlab語言構(gòu)造出典型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，使設(shè)計者對所選定網(wǎng)絡(luò)輸出的計算變成對激活函數(shù)的調(diào)用。另外，根據(jù)各種典型的修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的規(guī)則及網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程，在Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中編寫好了各種網(wǎng)絡(luò)設(shè)計與訓(xùn)練的子程序，設(shè)計者可根據(jù)自己的需要調(diào)用這些程序進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，擺脫了每繁瑣的編程過程，使精力全總值訂中在問題的解決方法上，從而提高了工作效率和質(zhì)量。應(yīng)用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，具體過程如下：

（1）用小的隨機(jī)數(shù)對每一層的的權(quán)值w_i和閾值b_i初始化，以保證網(wǎng)絡(luò)不被大的加權(quán)輸入飽和，同時還要進(jìn)行以下參數(shù)的設(shè)定或初始化：期望誤差最小值err_goal、最大循環(huán)次數(shù)max_epoch、修正權(quán)值的學(xué)習(xí)速度l_r等；

（2）計算網(wǎng)絡(luò)各層輸出矢量A_1­、A₂，以及網(wǎng)絡(luò)誤差E

式中   A_1­——隱含層矢量；

A₂——輸出層矢量；

P——樣本輸入值；

T——樣本輸出值；

A——網(wǎng)絡(luò)輸出值。

（3）計算各層反向傳播的誤差變化D₁、D₂，并計算各層權(quán)值的修正值及新的權(quán)值：

（4）再次計算權(quán)值修正后的誤差平方和：

       SSE=sumsqr （T-pruelin（w₂*tansig（w₁*P，b₁），b₂））         （5-3）

（5）檢查SSE是否小于err_goal，若是，則訓(xùn)練結(jié)束；否則繼續(xù)。

5.3灰色系統(tǒng)理論

5.3.1灰數(shù)

只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)叫做灰數(shù)�；覕�(shù)并不是一個數(shù)，而是一個數(shù)的區(qū)間，記為 。設(shè)a為區(qū)間，a_i為a中的數(shù)，如果灰數(shù) 區(qū)間內(nèi)取值，稱a_i為 的一個可能白化值。為此，下列符號表示：

為一般灰數(shù)；
（a_i）為以a_i為白化值的灰數(shù)；
或 （a_i）是灰數(shù) 的白化值，有時也用a_i表示 （a_i）的白化數(shù)。

5.3.2白化權(quán)函數(shù)
屬于某個區(qū)間的灰數(shù) ，在該區(qū)間內(nèi)取值時，如果每一個數(shù)的取值機(jī)會相等，那么這個灰數(shù)稱之為純灰數(shù)或絕對灰數(shù)，如深取值機(jī)會不相等，那么稱這個灰數(shù)為相對灰數(shù)。由于任何一個 （x）都是圍繞某個x組成的，因此認(rèn)為x在 （x）中的地位最重要，權(quán)最大，而 （x）中的其他值，則不一定是最重要的，權(quán)不一定都有一樣大。如果用f(x）表示 （x）上不同x的權(quán)，則稱廠（x）為  (x）的白化權(quán)函數(shù)。
設(shè)有如圖5-3所示的白化權(quán)函數(shù)f(x),f(x）E =[0,l]，如果滿足

(l)f(x)=L(x)，單調(diào)增，xE （a,b_l)
(2)f(x)=R(x)，單調(diào)降，x E（b₂，c)
(3)f(x)==max=1（峰值）,xE ［b₁，b₂］

則f(x）稱為典型白化權(quán)函數(shù)，稱L(x）為左增函數(shù)，R(x）為右降函數(shù)，稱叭，[b₁，b₂]為峰區(qū)。峰區(qū)表示灰量x的最佳程度，即權(quán)為1，稱a為起點，c為終點，b₁、b₂為轉(zhuǎn)折點，其值稱為轉(zhuǎn)折值或閾值。
白化權(quán)函數(shù)的確定，是指函數(shù)形狀、函數(shù)起點和終點的確定。白化權(quán)函數(shù)的形狀是指L(x）與R(x）的形狀。當(dāng)已知較少的信息時可建立直線型白化權(quán)函數(shù)。而當(dāng)已知信息較多時可以選用曲線型白化權(quán)函數(shù)，曲線形式包括正態(tài)函數(shù)曲線、威布爾函數(shù)曲線、對數(shù)正態(tài)函數(shù)曲線等。
5.3.3灰色聚類
灰色聚類是建立在灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)生成的基礎(chǔ)上。它將聚類對象對于不同的聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù)，按幾個灰類進(jìn)行歸納，以判斷該聚類對象屬于那一類。

記I、Ⅱ、Ⅲ、…為聚類對象，i=1，2，…，n；

記l^#、2^＃、3^＃、…為聚類指標(biāo)，j=1，2，…，m；

記l、2、3、…為聚類灰類，即灰類，k=l,2，…，n₁；
記d_ij，i=l,2，…，n，j=l,2，…，m，為第i個聚類對象對第j個聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù)據(jù)（樣本）；
記f_jk（d_ij）,i=1,2,，…，n，j=1,2，…，m,k=l,2，…，n，為第j個指標(biāo)對于第個k灰類的白化權(quán)函數(shù)。
5.3.4熟灰色聚類分析在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用
多目標(biāo)模糊優(yōu)化問題是要求在優(yōu)化設(shè)計的同時有多個指標(biāo)達(dá)到滿意值，其數(shù)學(xué)模型為

求x=(x₁,x₂，…，x_n）^T
使min f₁（x)
min f₂（x)

…

minf_m（x）

s.t.  g_j（x）≤0（j=1，2，…，j）

對于式（5-4)，若存在x^*使f₁（x)，f₂（x)，…，f_m(x）全部達(dá)到最小，則稱x^*為理想解。在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，由于目標(biāo)函數(shù)間相互制約，往往得不到理想解，而滿意解也不止一個，因此定義最接近理想解的滿意解為最滿意解。應(yīng)用灰色聚類分析方法求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中的最滿意解，具體步驟如下所示：

2.求轉(zhuǎn)換樣本矩陣  即象矩陣  由于指標(biāo)不同，要求不同，因此有必要按上限效果測度、下限效果測度、中心效果測度來統(tǒng)一樣本。當(dāng)指標(biāo)要求“越大越好”時，可用上限效果測度，記統(tǒng)一后的樣本為d_ij，則有

當(dāng)指標(biāo)要求“越小越好”時，可用下限效果測度，即

當(dāng)指標(biāo)為適度的規(guī)格，即規(guī)格太高太低都不舍適時，采用中心效果測度，即

將樣本轉(zhuǎn)換后，得到轉(zhuǎn)換后的樣本矩陣

3.確定閾值及其矩陣  閾值即為轉(zhuǎn)折點值，可按某種規(guī)則取得，也可按照經(jīng)驗或類比的方法獲得，或直接從角矩陣中獲得相對閾值，即在象矩陣中尋找最大、最小、中等閾值，方法如下：

如果認(rèn)為灰類或評估類別取“1”、“2”、“3”三級合適，考慮綜合評價權(quán)重的相對閾值的取值方法。由取矩陣

A=[P₁d（max），P₂d（mean），P₃d"（min）]                     （5-11）

式中  一般取P₁=0.80，P₂=1.0，P₃=1.20。

4.進(jìn)行灰色聚類  對象矩陣進(jìn)行聚類，聚類類別選為“1”、“2”、“3”三類時，其白化權(quán)函數(shù)分別與式（5-12）～（5-14）和圖5-4對應(yīng)。

①灰類 E[x₂，∞]

 

②灰類E [x₁、x₂、x₃]

則第j個指標(biāo)屬于第k個灰類的標(biāo)致定聚類權(quán)η_jk為

式中   λ_jk——ƒ_jk的閾值，與相應(yīng)x₁、x₂、x₃的對應(yīng)。

所有指標(biāo)的第i個聚類對象對于第k個灰類的聚類系數(shù)σ_ik­

將聚類系靈敏矩陣σ進(jìn)行歸一化處理得到歸一化矩陣σ_c

5.求最滿意解  設(shè)定

      W=σ_c×A_T=（W₁，W₂，…，W_n）^T                                 （5-17）

 

W₁，W₂，…，W_n分別對應(yīng)F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的綜合評分值，值最大者為最滿意解。

求解多目標(biāo)優(yōu)化問題最滿意解的程序框圖如圖5-5所示。

5.4減速器的多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計

5.4.1設(shè)計變量

根據(jù)圓柱正弦活齒減速器的結(jié)構(gòu)和優(yōu)化的目標(biāo)來確定設(shè)計變量，有關(guān)設(shè)計變量共為7個，分別為：主動軸參與嚙合軸段半徑r_l、活齒半徑r、導(dǎo)架參與嚙合軸段壁厚b₂、滾道深度b、空間正弦軌跡曲線幅值A(chǔ)、主動軸參與嚙合軸段軸長l₁、導(dǎo)架參與嚙合軸段軸長l₂。則設(shè)計變量為

    x=[x₁，x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇]=［r₁，r,b₂,b,A，l₁，l₂]                  （5-18）

各設(shè)計變量的含義見圖5-6。

 

5.4.2目標(biāo)函數(shù)
5.4.2.1分目標(biāo)函數(shù)的確定本課題研究的目的是為設(shè)計出結(jié)構(gòu)緊湊、徑向尺寸小、傳動效率高、可靠性高、動態(tài)性能好的新型圓柱正弦活齒減速器，并以此為依據(jù)來確定多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。
為使設(shè)計出的減速器適應(yīng)工況要求，在傳動比一定，滿足傳遞扭矩的前提下，減速器的徑向尺寸V應(yīng)盡量減小，因此首先將減速器的徑向尺寸最小科：為多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)之一。即

    ƒ₁（x）=min（V）=min（x₁+2x₂-x₄）                          （5-19）

嚙合副的滑動率U是影響齒輪傳動效率的一個重要因素，為降低嚙合副間的磨損，提高傳動效率，將滑動率最小也作為多目標(biāo)優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)之一。即

                     ƒ₂（x）=min（U）                        （5-20）
接觸副間的疲勞點蝕是傳動的主要失效形式，為了提高傳動的可靠性，提高工作壽命，將活齒傳動接觸強度的可靠性最大作為目標(biāo)函數(shù)之一。在圓柱正弦活齒傳動中，活齒分別與主動軸、導(dǎo)架、殼體接觸，各嚙合副接觸強度的可靠性分別為R_l,R₂,R₃，則選取三者中可靠性最低的接觸副作為優(yōu)化目標(biāo)R，即R=min{ R_l,R₂,R₃}，并使R的可靠度達(dá)到極大值，為使各目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一目際測度，故選取目標(biāo)函數(shù)為使三者中可靠性最低的接觸副的失效率最低，也即
ƒ₃（x）=min（1-R）=min（1-min{ R_l,R₂,R₃}）                    （5-21）

為使減速器系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，應(yīng)使系統(tǒng)各階模態(tài)柔度比較均勻，特別是危險模態(tài)的動柔度要盡可能小，設(shè)減速器系統(tǒng)的各階模態(tài)柔度值為A（i=1,2,3)，通�？蓪⑦@三階的模態(tài)柔度值作為分目標(biāo)函數(shù)，由于減速器的二階模態(tài)柔度較其它階的值要大得多，所以僅取max{A₁}作為目標(biāo)函數(shù)，并使其達(dá)到極小值，也即分目標(biāo)函數(shù)為
ƒ₄（x）=min（max{A₁，A₂，A₃}）                          （5-22）

為滿足各階模態(tài)柔度盡可能均勻的要求，可建立另一分目標(biāo)函數(shù)為

ƒ₅（x）=                               （5-23）

式中A_v——三階模態(tài)柔度的均值（rad·（N·mm）^-1）

綜上所述，為設(shè)計出高性能的圓柱正弦活齒減速器，需對其進(jìn)行多目標(biāo)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化目標(biāo)為使減速器體積、嚙合副間滑動率、危險模態(tài)的動柔度達(dá)到極小值，嚙合副接觸強度的可靠度達(dá)到極大值，并使系統(tǒng)各階模態(tài)柔度盡可能均勻。由此可見，分目標(biāo)函數(shù)共為5個：
ƒ={ƒ₁（x），ƒ₂（x），ƒ₃（x），ƒ₄（x），ƒ₅（x）}              （5-24）

5.4.2.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本和權(quán)值的確定

在圓柱正弦活齒減速器的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，優(yōu)化目標(biāo)ƒ₄（x）、ƒ₅（x）的函數(shù)值是經(jīng)過系統(tǒng)動態(tài)分析直接得到的，體現(xiàn)了機(jī)械結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的設(shè)計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間的關(guān)系，是一種高度非線性的映射關(guān)系，因此無法用一個簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示。本文采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計變量與其動態(tài)特性參數(shù)之間的映射，并利用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立新的分目標(biāo)函數(shù) 、 （x)。為了能夠提供訓(xùn)練樣本，在第4章我們建立了圓柱正弦活齒減速器的動力學(xué)分析模型，并對其進(jìn)行了動態(tài)特性分析，具體步驟這里不再贅述。分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f₄(x）、f₅（x）進(jìn)行函數(shù)逼近，現(xiàn)以f₄（x）為例說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立和訓(xùn)練的過程。
將上述的設(shè)計變量作為BP向絡(luò)的輸入量，代入計算f₄（x）的程序中得到最大模態(tài)柔度值作為網(wǎng)絡(luò)的教師樣本，通過不斷改變設(shè)計變量的值可以得到多組設(shè)計變量與最大模態(tài)柔度值之間映射的樣本，在這里選取38組映射作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本。由于系統(tǒng)有7個設(shè)計變量，因此可以建立一個輸入層7個節(jié)點，隱含層7個節(jié)點，輸出層1個節(jié)點的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。有了訓(xùn)練樣本和網(wǎng)絡(luò)模型后，就可以利用Matlab中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進(jìn)行訓(xùn)練，以便得到設(shè)計變量與最大模態(tài)柔度之間的精確映射關(guān)系。
進(jìn)行動態(tài)優(yōu)化時，若要建立起目標(biāo)函數(shù)，首先要獲得一組能夠精確計算f₄（x）的權(quán)值，這就需要通過樣本訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)誤差精度達(dá)到要求時，訓(xùn)練停止，并得到了該組權(quán)值，利用該組權(quán)值與設(shè)計變量通過三層BP網(wǎng)絡(luò)可以計算出訓(xùn)練后的分目標(biāo)函數(shù)值f₄（x）。在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，學(xué)習(xí)速率取為0.01，動量常數(shù)取為0.9，目標(biāo)誤差取為l×10^-16。當(dāng)訓(xùn)練結(jié)束時，網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值之間的誤差均方根值為8.8386×l0^-17（見圖5-7)，訓(xùn)練過程誤差的變化情況及訓(xùn)練完成后網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值對比情況如圖5-8所示。

以同樣的方法對f₅（x）進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，目標(biāo)誤差取為1×10^-6，網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值之間的誤差均方根值為9.7271×10^-7（見圖5-9），訓(xùn)練過程誤差變化情況及訓(xùn)練完成后網(wǎng)絡(luò)輸出值與樣本目標(biāo)值對比情況如圖5-10所示。

在建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型過程中，需要注意以下幾方面的問題：
1.輸入?yún)��?shù)的選擇  輸入?yún)��?shù)選擇的正確與否是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的關(guān)鍵，若輸入?yún)��?shù)太多，將會影響建模的效率，若輸入不足，又會影響建模精度。本文經(jīng)過對圓柱正弦活齒減速器各設(shè)計變量的仔細(xì)分析，選出其中的7個變量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入?yún)��?shù)。
2.訓(xùn)練樣本的選擇  如何在整個設(shè)計空間選擇樣本才能使建立起來的網(wǎng)絡(luò)模型具有全局性，即解決樣本泛化問題，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論中一個有待深入研究的問題，它直接影響到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精度與實用性。本文在各設(shè)計變量允許的范圍內(nèi)，選取了38個訓(xùn)練樣本。
3.隱層節(jié)點數(shù)的選擇  選用隱層節(jié)點數(shù)的多少關(guān)系到網(wǎng)絡(luò)建模的成敗，隱層節(jié)點的數(shù)目與所選取的訓(xùn)練樣本空間有關(guān)，隱層節(jié)點數(shù)太少，網(wǎng)絡(luò)難以處理較夏雜的問題，并且會使網(wǎng)絡(luò)建模誤差增大，但若隱層節(jié)點數(shù)太多，將使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間急劇增加，又會影響訓(xùn)練速度。本文在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)過程中，經(jīng)過反復(fù)嘗試后認(rèn)為選取7個隱層節(jié)點數(shù)時訓(xùn)練效果最好。
4.學(xué)習(xí)速率的選擇  學(xué)習(xí)速率的大小對算法的收斂特性有很大的影響。若取值太大，會出現(xiàn)算法不收斂。若學(xué)習(xí)速率選擇太小，會使訓(xùn)練過程時間大大增加，影響計算效率。一般選擇為0.01～0.1，本文根據(jù)訓(xùn)練過程中梯度變化和均方誤差變化值，選取學(xué)習(xí)速率為O.01。

5.4.3模糊約束條件
5.4.3.1約束條件的確定  考慮從完全許用到完全不許用的中介過渡過程，把活齒傳動的接觸強度和扭轉(zhuǎn)剛度等性能約束，嚙合角、不頂切條件等幾何約束，各設(shè)計變量的上下限約束等的取值范圍，均視為設(shè)計空間上的模糊子集，于是得到如下的約束條件：
(l）為避免活齒接觸副間發(fā)生疲勞點蝕等失效形式，活齒嚙合副間的接觸應(yīng)力應(yīng)小于接觸疲勞強度許用應(yīng)力，其中各嚙合副接觸應(yīng)力的計算公式見式(3-l)，即

                               （5-25）

(2）為保證傳動軸在扭轉(zhuǎn)時具有足夠的強度，必須使其最大的工作剪應(yīng)力，不超過材料的許用剪應(yīng)力，在圓柱正弦活齒減速器的傳動軸中，導(dǎo)架的空心軸段部分是最為薄弱的環(huán)節(jié)，則其扭轉(zhuǎn)的強度條件應(yīng)滿足：

（5-26）

式中    T——輸出扭矩（N·mm）；

W_n——抗扭截面系數(shù)W_n= （D⁴-d⁴）；

D——導(dǎo)架空心軸段部分外徑（mm）；

d——導(dǎo)架空習(xí)軸段部分內(nèi)徑（mm）。

(3）一般機(jī)械設(shè)備中的傳動軸除了要求具有足夠的強度外，往往還要求其變形限制在一定的范圍內(nèi)，即要求傳動軸要具有一定的剛度，也就是軸最大單位長度的扭轉(zhuǎn)角不能超過軸單位長度許用扭轉(zhuǎn)角，則導(dǎo)架扭轉(zhuǎn)的剛度條件為：

 （5-27）

式中    I_P——截面極慣矩I_P= ；

GI_P——抗扭剛度（N·m）。

(4）在設(shè)計圓柱正弦活齒傳動的滾道的結(jié)構(gòu)尺寸時，為保證接觸副間正確的傳力，需考慮在傳遞扭矩一定的前提下，滾道的深度應(yīng)滿足活齒嚙合副間接觸力的最大嚙合角的限制，即

（5）為滿足活齒傳動正確連續(xù)傳動的條件，正弦滾道齒形必須保證不發(fā)生頂切，即

（6）設(shè)計變量上下界約束為

5.4.3.2隸屬函數(shù)及容差的確定  模糊約束的隸屬函數(shù)，應(yīng)根據(jù)約束的性質(zhì)來具體確定，為簡便計算，本文均采用線性嫦娥屬函數(shù)，對于性能約束采用的隸屬函數(shù)形式為

式中 ——模糊約束過渡區(qū)間上下限。

無論選擇何種形式的隸屬函數(shù)，都需要確定模糊過渡區(qū)間的上、下界。為此，首先需要確定過渡區(qū)間的容差。所謂容差，即為過渡區(qū)間的總長度，實際上就是約束限制的容許偏差。確定容差的方法有概率分析法、模糊綜合評判法、擴(kuò)增系數(shù)法等。前兩種方法需要有足夠的統(tǒng)計分析資料，工程中常用的是擴(kuò)增系數(shù)法。擴(kuò)增系數(shù)法是在充分考慮以往普通設(shè)計規(guī)范和設(shè)計經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過引入擴(kuò)增系數(shù)β（包括上增擴(kuò)系數(shù)β和下增擴(kuò)系數(shù)β）來確定過渡區(qū)間上、下界的一種方法。
通常選取 =1.05～1.30，β=0.7～0.95。
5.4.3.3最優(yōu)水平截集的確定  采用最優(yōu)水平截集法來實現(xiàn)從模糊優(yōu)化模型向普通優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)化。當(dāng)我們規(guī)定某一隸屬度λ（O≤λ≤1）值的時候，就由模糊集合分解出一個普通的集合，將模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問題處理；而一系列不同的λ的普通集合又對應(yīng)一個模糊集合。因此，λ截集是溝通普通集合與模糊集合的橋梁。λ取值越大，設(shè)計結(jié)果越可靠，λ取值越小，設(shè)計結(jié)果越經(jīng)濟(jì)，所以在[O,l]區(qū)間內(nèi)存在一個最佳的λ^*值，使設(shè)計結(jié)果既經(jīng)濟(jì)又可靠，尋求最優(yōu)λ^*截集，是實現(xiàn)模糊優(yōu)化設(shè)計向普通優(yōu)化設(shè)計轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。本文采用二級模糊綜合評判的方法求解λ^*，分別建立備擇集、因素集、因素權(quán)重集、因素等級權(quán)重集，并確定評判數(shù)學(xué)模型，由此計算出最優(yōu)置信水平λ^*。

下面給出采用二級模糊綜合評判法的具體步驟。
1.確定因素集  采用二級模糊綜合評判確定最優(yōu)水平值λ^*。將模糊優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為最優(yōu)水平截集上的常規(guī)優(yōu)化模型。影響λ^*取值的因素、因素等級及其隸屬度見表5-1。隸屬度可以采用模糊統(tǒng)計法或由專家打分法確定，本文采用專家打分法。
2.確定備擇集  備擇集是以評判者對評判對象可能做出的各種總的評價結(jié)果為元素組成的集合。本設(shè)計的評判對象是水平截集λ，其取值區(qū)間范圍是[0,1]區(qū)間。根據(jù)設(shè)計條件及要求，分別以兄的各離散值作為評判對象，因此取備擇集為
λ={0.30,0.40,0.50,0.60,0.65,0.70,0.75,0.80,0.85,0.90}            (5-33)

3.確定因素權(quán)重集及因素等級權(quán)重集  不同的因素相對于評判對象的重要程度不同，為準(zhǔn)確反映各因素及因素等級對評判對象λ的影響，應(yīng)賦予各因素及因素等級相應(yīng)的權(quán)重W和w_i。在模糊綜合評判過程中，權(quán)數(shù)的確定非常重要。根據(jù)各設(shè)計條件，確定因素權(quán)重集W為
W={0.25,0,30,0.20,0.10,0.10,0.05}                                  (5-34)

表5-1影響因素等級及其隸屬度

根據(jù)表5-1可分別計算得到各因素等級的權(quán)重集W_i

W₁={0.476，0.381，0.143，0，0}；

W₂={0.455，0.318，0.227，0，0}；

W_3­­={0.500，0.400，0.100，0，0}；

W₄={0，0，0.217，0.348，0.435}；                              （5-35）

W₅={0，0，0.208，0.375，0.417}；

W₆={0，0，0.213，0.362，0.425}。

4.進(jìn)行一級模糊綜合評判  一級模糊綜合評判即單因素評判，它通過綜合一個因素的各個等級對評判對象取值的影響來處理因素的模糊性。根據(jù)各因素等級次序?qū)υu判對象λ的影響，確定各因素的等級評判矩陣R_i（i=1，2，…，6）。以μ₁（設(shè)計水平）為例，其等級評判矩陣R₁確定為

（5--36）

R₁的含義為：當(dāng)設(shè)計水平高時，λ截集水平取低值，表現(xiàn)為對評判對象λ的隸屬度由大到小，即設(shè)計參數(shù)許用范圍可稍大；反之，設(shè)計水平低，λ截集水平取高值。采用M（·，+）合成運算模型，分別對第i個因素作一級綜合評判，該模型按照普通矩陣乘法計算，能保留一部有用信息，可以全面考慮各個因素的影響以及各單因素的評判結(jié)果，得一級模糊綜合評判集B_i=W_i R_i。由B_i（i=1，2，…，6）構(gòu)成二級模糊綜合評判矩陣R。以計算B₁為例

B₁=ω₁ R₁=[b₁，b₂，b₃，b₄，b₅，b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀]

=[0.757，0.814，0.786，0.681，0.538，0.381，0.243，0.138，0.043，0.014]       （5-37）

式中  b_j=

5.進(jìn)行二級模糊綜合評判   進(jìn)行二級模糊綜合評判，首先確定綜合模糊變換矩陣R

（5.38）

綜合考慮各因素的影響，利用模糊變換矩陣，采用M（·，+）合成運算模型，得到二級模糊綜合評判的總的評判結(jié)果為
B＝W R=(0.591,0.654,0.674,0.651,0.583,0.502,0.407,0.314,0.231,0.183)

6.確定最終評判結(jié)果  采用加權(quán)平均法，取以b_i為權(quán)數(shù)，對各個備擇元素凡進(jìn)行加權(quán)平均的值作為評判的結(jié)果，即

結(jié)合前面計算結(jié)果，利用式（5-39)，求出最優(yōu)水平截集λ^*=0.5875。從而將模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)優(yōu)化問題。